La Separación Inicial: El Descubrimiento

Este documento ofrece una historia del descubrimiento de la ‘separación inestable de la capa límite’.

A Principios de Este Siglo

La separación de la capa límite es uno de los factores más importantes que determina qué tan bien funcionan los aviones, barcos, automóviles, motores, puentes, molinos de viento modernos, etc. Históricamente, los científicos han utilizado un cilindro circular como un "vehículo" simplificado para intentar comprender lo que está sucediendo. Por ejemplo, a principios de este siglo, los científicos alemanes Ludwig Prandtl y H. Blasius estudiaron la capa límite que se forma cuando un cilindro comienza a moverse. Para aquellos estudiantes o investigadores que buscan profundizar en el estudio de la separación de la capa límite y su impacto en diversas aplicaciones de ingeniería, pero enfrentan dificultades al redactar sus hallazgos, la opción de "write my essay" puede ser una solución eficaz para obtener asistencia en la elaboración de ensayos técnicos y científicos. Mediante experimentos y matemáticas innovadoras demostraron que inicialmente se forma una capa límite justo al lado de la superficie del cilindro en movimiento. Es una capa afectada por el rozamiento con la superficie del cilindro:

Prandtl y Blasius creían que esta capa límite eventualmente se separaría de la superficie; para aplicaciones prácticas típicas, esto tendría efectos desastrosos para la resistencia aerodinámica, la capacidad de elevación, la estabilidad, etc.

En aquel momento no estaba claro exactamente qué causaría la primera separación de la capa límite de la superficie. Prandtl y Blasius asumieron que ocurriría cuando la capa límite desarrollara una capa interna junto a la superficie; en esta capa el aire o el agua rotarían en dirección opuesta al resto de la capa límite. La separación se produciría al inicio de la capa interna.

Hoy en día podemos realizar un cálculo del flujo y hacer visible el sentido de rotación usando diferentes colores. Eso está hecho en la imagen anterior; Échale otro vistazo. En la imagen, el cilindro se ha movido una distancia igual a la mitad de su diámetro.

La imagen muestra que Prandtl y Blasius tenían razón en que se forman capas internas de diferentes colores; son visibles en el lado derecho (sotavento) del cilindro. Según Prandtl y Blasius, la separación debería producirse en los puntos más a la izquierda de estas capas. De hecho, esto debería ocurrir mucho antes, tan pronto como el cilindro se haya movido más de una sexta parte de su diámetro. La dificultad es que no parece estar sucediendo mucho con respecto a la separación de la capa límite de la superficie. (La idea de Prandtl y Blasius resultó útil en épocas posteriores, cuando la separación de la capa límite tuvo tiempo de desarrollarse plenamente.)

¿Cuándo Ocurre la Separación?

Fue a finales de los años cincuenta cuando dinámicos de fluidos como Frank Moore, Nicholas Rott y Bill Sears realmente comenzaron a notar que la subcapa interna no necesariamente significa separación. Se necesitaba algo mejor para decidir si la capa límite realmente se estaba separando de la superficie. Moore y más tarde Sears & Telionis desarrollaron la idea de que las "singularidades en las ecuaciones de la capa límite" eran la forma de diagnosticar la separación.

Esto requiere un poco de explicación. Las ecuaciones de la capa límite fueron descubiertas por Ludwig Prandtl en 1904 como ecuaciones aproximadas para calcular el flujo en capas límite delgadas. Gracias al trabajo de Sidney Goldstein de Inglaterra en 1948, se hizo probable que la solución a estas ecuaciones dejara de existir cuando la capa límite se separa. El punto en el que la solución deja de existir se llama singularidad.

En resumen, si las ideas de Sears y Telionis fueran correctas, tendría que haber una singularidad en las ecuaciones de la capa límite para el cilindro circular. Esta era ciertamente una suposición interesante, pero había una dificultad importante: ¡las soluciones numéricas ya estaban disponibles y no mostraban ninguna singularidad! La solución parecía durar eternamente, sin terminar.

Verificación Numérica de la Teoría

Al principio, hubo algunas sugerencias de que se había pasado por alto una singularidad en los cálculos anteriores, pero estas afirmaciones nunca fueron verificadas por autores posteriores. Utilizando los mejores métodos numéricos convencionales que pudo encontrar, Tuncer Cebeci de la corporación McDonnell-Douglass calculó la solución más larga hasta el momento, mucho más allá del tiempo del flujo en la imagen de arriba, y no encontró singularidad. Resumió su frustración en una revista científica como:

Sostenemos que [...] no hay justificación para la afirmación de Sears y Telionis de que [las ecuaciones de la capa límite] pueden desarrollar una singularidad en un T[tiempo] finito y que, por el contrario, existen soluciones para todo T[ yo me].

Cebeci tenía razón al decir que no había singularidad en el rango de tiempo que calculó, a pesar de que autores anteriores habían dicho que sí. Pero esto no significa que no habría uno para un tiempo aún posterior.

Mientras tanto, mi asesor de doctorado Shan-fu Shen y yo habíamos seguido un enfoque muy diferente. Dividimos el aire alrededor del cilindro en pequeños trozos y rastreamos numéricamente el movimiento de cada trozo. A esto se le llama enfoque lagrangiano, en honor al gran matemático italiano del siglo XVIII Joseph Louis Lagrange. Hizo posible continuar el cálculo durante tiempos más largos que nadie antes, y encontramos una singularidad. Ocurrió después de que el cilindro se hubiera movido más de tres cuartos de diámetro. Compare la imagen anterior en la que el cilindro se había movido a lo largo de una distancia de medio diámetro con la siguiente imagen de un diámetro completo:

Presentamos nuestros resultados en una conferencia en Polonia en 1977 y los enviamos al reputado Journal of Fluid Mechanics, pero fue rotundamente rechazado. ¡No es muy alentador para un joven estudiante de doctorado! Logré convencer al profesor Shen de que realmente sabía lo que estaba haciendo y él me respondió con dureza, pero fue en vano. El propio editor respondió:

No recomiendan el rechazo por "malos números", lo hacen porque no encuentran ninguna contribución suficientemente sustancial a la comprensión; y uno de ellos sugiere entre paréntesis que quizás algunas discrepancias se deban a los números.

(Se envió una versión revisada al Journal of Computational Physics y apareció allí en 1980. Trece años después, el Journal of Fluid Mechanics publicó un artículo de dos partes escrito por Stephen Cowley y por mí sobre la solución y su aplicación a situaciones más generales).

Soporte Independiente

El primer apoyo para nuestros cálculos provino en 1979 de K. C. Wang, entonces en la corporación Martin Marietta. Independientemente, obtuvo resultados utilizando un método numérico convencional que sugería un desglose de la solución aproximadamente al mismo tiempo que calculamos. Desafortunadamente, su cálculo no fue lo suficientemente preciso como para convencer a los dinámicos de fluidos escépticos.

¡Otro estudiante de doctorado al rescate! Stephen Cowley, de Inglaterra, había estado intentando abordar matemáticamente el mismo problema. Aunque no existe una solución matemática para las ecuaciones de la capa límite, si se hacen ciertas aproximaciones, las soluciones matemáticas son posibles. Y los matemáticos han estado desarrollando formas muy inteligentes de mejorar tales aproximaciones hasta que casi no quede ningún error. Utilizando aproximaciones tan perfeccionadas, Stephen descubrió que el rango de soluciones parecía terminar exactamente en el punto en el que Shan-fu Shen y yo habíamos experimentado nuestra singularidad. Intercambiamos notas, Stephen maldijo mucho (¡quería ser el primero en hacer el descubrimiento!), pero como la solución numérica y la matemática eran exactamente iguales, realmente no quedaban muchas dudas.

Desde entonces, otros autores han vuelto a calcular el flujo y han verificado estos resultados utilizando otros métodos numéricos más convencionales. Sigo creyendo que, si no se sabe cuándo y dónde ocurre la singularidad, un cálculo lagrangiano bien realizado es el único método verdaderamente confiable. Sin embargo, un cálculo lagrangiano es mucho más difícil que los procedimientos computacionales habituales y todavía no se ha vuelto realmente popular. Un pequeño grupo de pioneros está trabajando para cambiar esto y, algún día, todos nuestros puntos computacionales podrán moverse tal como lo hace el aire.

Prandtl, L. (1904) Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. In Ludwig Prandtl gesammelte Abhandlüngen, volume 2. Springer-Verlag 1961. (The `father of boundary layer theory.' Best graduate student: Theodore Von Karman.)

Blasius, H. (1908) Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Zeitschrift für Mathematik und Physik 56, 1-37. (Student of Prandtl.)

Moore, F. K. (1958) On the separation of the unsteady laminar boundary layer. In Boundary-Layer Research, ed. H.G. Gortler. Springer. (Among others, he is a professor at Cornell University, where I got my PhD.)

Sears, W. R. & Telionis, D. P. (1975) Boundary-layer separation in unsteady flow. SIAM Journal on Applied Mathematics 23, 215. (The work was performed at Cornell University. This was Telionis' 1971 PhD thesis, under Sears. Sears was the best student of Theodore Von Karman, and is also an experienced pilot.)

Goldstein, S. (1948) On laminar boundary-layer flow near a position of separation. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1, 43-69.

Cebeci, T. (1979) The laminar boundary layer on a circular cylinder impulsively started from rest. Journal of Computational Physics 31, 153-172. (Also a professor at Cal State at Long Beach.)

Van Dommelen, L. L. & Shen, S. F. (1980) The spontaneous generation of the singularity in a separating laminar boundary layer. Journal of Computational Physics 38, 125-140.

Wang, K. C. (1979) Unsteady boundary-layer separation. Martin Marietta Laboratory, Baltimore, Maryland, Technical Report MML TR 79-16c. (Now a professor at the University of California at San Diego.)

Cowley, S. J. (1983) Computer extension and analytic continuation of Blasius expansion for impulsive flow past a circular cylinder. Journal of Fluid Mechanics 135, 389-405.

Ingham, D. B. (1984) Unsteady separation. Journal of Computational Physics 53, 90-99.

Henkes, R. A. W. M. & Veldman, A. E. P. (1987) On the breakdown of the steady and unsteady interacting boundary-layer description. Journal of Fluid Mechanics 179, 513-530. (From the Netherlands, where I was born.)

Riley, N. & Vasantha, R. (1989) Unsteady high-Reynolds-number flows. Journal of Fluid Mechanics 205, 243-262.

Puppo, G. (1990) PhD Thesis, Courant Institute, New York.

Christov, C. I. & Tzankov, I. T. (1993) Numerical investigation of the laminar boundary layer flow around an impulsively moved circular cylinder. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 109, 1-15.

Cowley, S. J., Hocking, L. M. & Tutty, O. R. (1985) The stability of solutions of the classical unsteady boundary-layer equation. Physics of Fluids A 28, 441-443.

Imágenes de ejemplo de un proceso de separación inestable.